微分方程的首次积分及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。

解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。

2. 研究内容和预期目标

本文以已有的研究为基础，总结归纳基础的理论部分并针对一些应用做单独研究。

首先给出基础的理论内容，如：首次积分的定义及其基本原理，这些内容会在后续的研究中有所涉及； 然后根据前面的基础理论内容，介绍并分析首次积分在数学领域的典型应用； 最后在基础理论的支撑下，总结首次积分的应用并给出自身对于这一方面的思考与见解。

3. 国内外研究现状

2002年，冯兆生教授在求解Burgers-KdV方程中第一次提出求解非线性偏微分方程的有效方法——首次积分法；2008年，张群力基于首次积分法,对微分中值定理中的辅助函数、求解积分因子、函数零点存在等中的函数构造问题作了探讨,从而构造辅助函数转化为求首次积分；2009年，闫荣应用首次积分法进行研究，获得了非线性演化方程的孤立波解及Burgers-Fisher方程的峰波解；2011年，N. Taghizadeh,M. Mirzazadeh,F. Farahrooz利用首次积分法构造了修正的KdV-KP方程和Burgers-KP方程的精确解；2013年，王良彬总结了运用首次积分法求得广的Whitham-Broer-Kaup（WBK）方程、一类常系数非线性偏微分方程、拓展的Drinfeld-Sokolov方程组、一类非线性偏微分方程、推广的Mikhailov-Shabat（MS）方程组和推广的PHi-four方程在不同情况下的精确解；2015年，李钊通过首次积分方法和Maple软件,研究了非线性电报方程,得到了该方程新的精确解；2018年，杨娜，陈龙伟基于首次积分法得到广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确行波解；2018年，张清梅, 熊梅, 陈龙伟利用首次积分法得到两个非线性薛定谔方程的精确行波解；2018年，Mousa Ilie，Jafar Biazar，Zainab Ayati通过首次积分法求解Burgers-KdV,Klein–Gordon, KdV–Zakharov–Kuznetsev等方程；2020年，张燕,陈兆蕙使用首次积分得到了时空-分数阶MKdV-ZK方程的新精确解。

4. 计划与进度安排

第一阶段：2022.12-2022.01 整理学习有关微分方程的首次积分相关知识，并阅读参考文献及课本； 第二阶段：2022.02-2022.03 整理有关首次积分法的应用部分，深入学习与整理，并构建论文框架，完成整篇论文的初步模型； 第三阶段：2022.03-2022.04 整理结论，撰写论文。

5. 参考文献

[1]张群力.首次积分法应用的探讨[J].菏泽学院学报,2008(05):30-33.DOI:30-33.DOI:10.16393/j.cnki.37-1436/z.2008.05.009.[2]杨娜, 陈龙伟. 基于首次积分法研究GDNLSE方程的精确解[J]. 应用数学进展, 2018, 第7卷(4):303-309.[3]王良彬. 首次积分法在偏微分方程中的应用研究[D].杭州师范大学,2013.[4]张清梅, 熊梅, 陈龙伟. 基于首次积分法求解两个非线性薛定谔方程的精确解[J]. 应用数学进展, 2018, 第7卷(7):962-969.[5]张燕,陈兆蕙.首次积分法求时空-分数阶MkdV-ZK方程新的精确解[J].数学的实践与认识,2020,50(13):243-250.[6]李钊,孙峪怀,黄春.首次积分法及其在非线性电报方程中的应用[J].成都大学学报(自然科学版),2015,34(01):29-31 34.[7]孟品超,尹伟石.Duffing方程的首次积分法求解[J].吉林大学学报(理学版),2015,v.53;No.216(06):1186-1188.DOI:10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.06.20.[8]Yanxia Hu and Xiaofei Du. The First Integrals of a Second Order Ordinary Differential Equation and Application[J]. Asian Journal of Research in Computer Science, 2019, : 1-15.[9]Mousa Ilie and Jafar Biazar and Zainab Ayati. The first integral method for solving some conformable fractional differential equations[J]. Optical and Quantum Electronics, 2018, 50(2) : 55.[10]N. Taghizadeh and M. Mirzazadeh and F. Farahrooz. Exact soliton solutions of the modified KdV–KP equation and the Burgers–KP equation by using the first integral method[J]. Applied Mathematical Modelling, 2011, 35(8) : 3991-3997.