非齐次边界条件下非线性适型分数阶微分方程解的存在性开题报告

1. 本选题研究的目的及意义

分数阶微分方程作为整数阶微分方程的拓展，近年来在粘弹性、反常扩散、控制理论、图像处理等领域展现出独特的优势，成为数学和应用科学领域的研究热点。

相比于传统的整数阶微分方程，分数阶微分方程能够更精确地刻画具有记忆效应和非局部性质的物理现象。

本选题聚焦于非齐次边界条件下非线性适型分数阶微分方程解的存在性问题，旨在探讨该类方程解的存在性条件、解的性质以及相应的数值解法。

2. 本选题国内外研究状况综述

分数阶微分方程的研究近年来取得了显著进展，国内外学者在解的存在性、稳定性、数值解法等方面进行了广泛的研究。

1. 国内研究现状

国内学者在分数阶微分方程领域的研究起步较晚，但近年来发展迅速，在理论研究和应用研究方面都取得了一系列重要成果。

3. 本选题研究的主要内容及写作提纲

1. 主要内容

本研究将针对非齐次边界条件下非线性适型分数阶微分方程解的存在性问题展开深入研究，主要内容包括以下几个方面：
1.研究非齐次边界条件下非线性适型分数阶微分方程解的存在性。

利用不动点理论、拓扑度理论等非线性分析方法，结合适型分数阶导数的性质，建立该类方程解的存在性定理。

4. 研究的方法与步骤

本研究将采用理论分析与数值模拟相结合的方法，逐步深入地开展研究工作。

首先进行文献调研，广泛查阅国内外相关文献，了解分数阶微分方程、非线性分析、数值计算等领域的研究现状和最新进展，为本研究提供理论基础和方法指导。

其次进行理论研究，建立非齐次边界条件下非线性适型分数阶微分方程的数学模型，明确研究对象和研究内容；利用不动点理论、拓扑度理论等非线性分析方法，研究方程解的存在性、唯一性等问题，并给出严格的数学证明；分析解对初始条件和边界条件的依赖性，以及解的渐近行为等定性性质。

5. 研究的创新点

本研究的创新点在于：
1.研究对象的新颖性：针对非齐次边界条件下非线性适型分数阶微分方程这一类特殊的方程进行研究，拓展了分数阶微分方程的研究领域。

2.研究方法的独特性：结合适型分数阶导数的性质，利用不动点理论、拓扑度理论等非线性分析方法，建立新的解的存在性定理，为解决该类问题提供新的思路和方法。

3.研究结果的实用性：通过理论分析和数值模拟，揭示非齐次边界条件、非线性项以及分数阶导数阶数对解的存在性的影响规律，为实际应用提供理论指导。

6. 计划与进度安排

第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。

第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲

第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文

7. 参考文献（20个中文5个英文）

[1] 杨晓慧,苏燕,刘艳萍.riemann-liouville型分数阶微分方程边值问题正解的存在性[j].山东大学学报(理学版),2018,53(10):1-8.

[2] 孙艳,刘立山.具非线性边界条件的分数阶微分方程边值问题解的存在性[j].数学的实践与认识,2017,47(10):233-238.

[3] 张建兵,毛庆侠,朱思睿.一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性[j].山东大学学报(理学版),2020,55(6):23-29.