差分方程在经济学中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

数学这一基础性学科在不断发展,在现代经济学中所起的作用也日益突出.数学是一切学科的基础,经济领域也不例外,要发展经济就要研究经济理论,掌握经济规律,预测经济发展的趋势,这些都离不开数学这一工具.经济数学模型^[1]具体来说,是在经济理论的指导下,通过建立数学模型的这个过程,把研究对象简单化,转化为本质同一的对象,使研究对象具有代表性,以一代全,实际操作起来更加方便,从而实现对经济现实的简化.故对于变量数量繁多,而且变量之间的关系复杂多变的经济数量关系进行分析研究,经济数学模型不可或缺.

在经济数学模型中,差分方程^[2]的应用非常广泛,人们建立了一系列以差分方程理论为核心的一系经济类数学模型,如市场经济中的蛛网模型^[3](cobweb model)、养老保险模型以及筹措教育经费模型等等,相应模型的建立也就解决了相应的经济学中的问题,如市场经济中的蛛网模型的研究就是基于自由竞争的市场经济中的供需变化与价格变化的循环现象,筹措教育经费模型则是站在一个理性角度,定量研究某家庭投资子女教育所需的费用.其实,总结一下,不难发现,以上的模型都是关于离散变量差分模型^[4]的规律、性质问题,只要判断出要研究的问题具有这类共同点,就可以考虑用差分方程模型来分析求解问题.

举个例子,市场经济中的蛛网模型主要是研究在自由市场上的一种现象：商品的供给大于需求时,销售不畅会导致价格的大幅下跌,而价格的下降又会使得商品的供给量下降,因此价格又会上升,如果没有干预,会如此的往复.人们利用差分方程的知识对此过程进行研究,又发现在图像中,商品产量和价格的图形轨迹类似于蜘蛛网状,于是便有了差分方程的蛛网模型的诞生.对于政府来说,也会更加方便,便于及时地进行经济干预.中国的社会主义市场经济体制强调的是以市场和计划两种手段来调配社会资源,市场为主,计划为辅,蛛网模型的建立,把市场调配资源的整个过程体现了出来,同时也让政府可以更有计划性、更有目的性地来干预经济,经济调控的效果也会更好.所以,研究差分方程,对于数学理论的发展和实际生活都具有十分重大的意义.

2. 研究内容和预期目标

应用差分方程的知识,建立经济模型,解决经济学的问题是要针对目标问题,确定离散变量,根据实际,建立离散变量所满足的平衡关系式,从而建立差分方程.通过求出方程的解和对解的分析,把握这个离散变量变化的规律,并进一步结合其他的分析,得出原问题的解.

差分方程模型在解决实际问题是,一般步骤如下：第一步,先要检验变量是否符合差分方程的理论条件,并进一步分析实际问题,设定好实际问题中的未知函数,建立差分方程,提出初始条件;第二步,先求解所建立的方程的通解^[5],再根据之前设定的初始条件求出特解;第三步,用所得出的解给实际问题一个答复,并结合实际进行分析.

3. 国内外研究现状

差分方程是研究常微分方程、偏微分方程数值解的主要方法之一，其研究成果在数值计算中有着重要应用.随着计算机技术的广泛应用和不断发展，许多计算领域的问题都可归结为数值计算问题.正因如此，以前人们对差分方程的研究兴趣主要集中在差分方程的计算方法、误差分析、数值计算以及保证计算精度符合要求等等，而对差分方程的定性研究（解序列的定性分析）却很少.

差分方程定性理论的早期研究主要涉及差分方程解的稳定性.1892年，伟大的俄国数学家lyapunov完成了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》^[6]，其中提出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论，从而开创了运动稳定性的一般理论，使得稳定性理论成为动力系统的经典内容.1959年，kalman和bertram^[7]对离散动力系统的稳定性进行了比较系统的论述.20世纪79年代以后，来源于生物学、物理学、控制论甚至经济学领域的应用课题，激起了国内外学者在差分方程这一领域的极大兴趣，并做了大量的研究.正如kelly和peterson在2001年出版的专著《差分方程应用导论》^[8]中展望：#8220;差分方程是一个丰富的领域，既有趣又有用#8221;。

新世纪的差分方程理论发展迅速,且成果显著,在国内外一直都是数学学者们的研究热点.在国内,很多学者也在这一领域辛勤工作着,怀化学院的数学系主任魏耿平^[9]就是代表人物之一,他的论文发表在国内外许多著名的期刊杂志上,如美国的sci源刊^[10]、国内的《数学学报》等.在国外,随着差分方程理论的快速发展,国际上出现了一种专业性的差分方程的期刊,它的名称叫做journal of difference equations and applications,能在这样一个国际性的期刊上发表学术成果,对个人的研究成果是一种很大的肯定,同时对数学学科的发展是具有非常大的意义的.这一专业期刊杂志的出现更加推动了差分方程理论在竞争中的不断发展,以及差分方程在实际中应用的进程,差分方程众多优秀的研究成果也有了展示的平台.

4. 计划与进度安排

2022年12月10日前：撰写开题报告

2018年1月10日2022年1月17日：阅读《差分方程及其应用》等教材，翻译相关问题的外文文献准确理解差分方程，并掌握各种类型差分方程的求解方法，找出与课题有关的问题和结论，对问题加以分析对结论加以证明.

2022年1月18日2022年1月25日：阅读有关经济模型和差分方程应用的文献，翻译相关问题的外文文献，着重理解基于差分方程的模型，对经济模型加以分析，针对有关性质和命题进行研究探索.

5. 参考文献

[1] 张从军，孙春燕，陈美霞.经济应用模型.上海：复旦大学出版社，2008.10.1

[2] 柴俊，丁大公，陈咸平.高等数学（下册）.北京：科学出版社，2007

[3] 高鸿业.西方经济学（宏观部分）.北京：中国人民大学出版社，2010