关于非线性方程的求解开题报告

1. 研究目的与意义

随着现代计算机科学技术的迅猛发展，一些非线性方程模型在实际问题中频频出现。经常要求非线性方程f(x)=0的根，方程f(x)=0的根称为函数f(x)的零点。很多我们非常熟悉的线性模型都是一定条件下的非线性问题简化得到的。由于非线性方程在各个科学领域与工程计算等领域中地位越来越重要，因此我们有必要就有关非线性方程的解法做一些探讨和研究。

而研究非线性方程最常用的方法是迭代法。迭代法是一种用变量的旧值逐步递推新值的过程,从而产生方程的近似根。随着计算机技术的发展,迭代法具有计算速度快,可重复操作性强等优点。但由于迭代公式选取的不同,将会得到不同的迭代公式。有的迭代公式收敛速度不快;有的收敛速度很快,但计算量很大。

如何选择高效快速的收敛方法,近些年来,有很多学者对此进行大量的探索和研究。由于非线性方程有其自身的复杂性，在除了少数特殊的非线性方程外，直接法求得结果的情况是不可能的，这时我们需要借助于牛顿迭代法、二分法和弦截法进行近似求解。

2. 研究内容和预期目标

一、研究内容

本文重点研究非线性方程求解方法中的牛顿迭代法，二分法和弦截法等三种方法。

牛顿迭代法是一种重要和常用的迭代法，使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找f(x)=0方程的根。其基本思想为将非线性函数f(x)逐步线性化，继而将非线性方程f(x)=0的求解近似地转化为线性方程求解。此方法广泛用于计算机编程中。

3. 国内外研究现状

近年来，随着科学技术的发展，非线性问题变得越来越重要。很多技术问题通常是非线性介质与材料(材料非线性)，而且是大范围、大幅度变化(几何非线性)的问题，如非线性有限元问题、非线性断裂问题、弹塑性问题及其他非线性力学问题、电路问题、电力系统计算、经济与非线性规划问题等，这些问题都导致大量的非线性微分或积分方程出现.因此，研究非线性方程的解法具有重要的理论意义和实际应用价值。

早在17世纪，newton, halley, euler, cauchy等人就对非线性方程的高效数值解法产生了浓厚的兴趣，并得到了一系列以他们的名字命名的经典数值方法，成为现当代非线性数值问题研究的基础。

二十世纪中下旬，国外的traub, omega, smale, kantorovich等人，国内的朱季纳，李庆扬，冯果忱，王德人，黄象鼎和王兴华等人继续前人的研究成果，对求解非线性方程的数值求解问题做了大量细致而具体的研究工作，并且得到了一系列优于经典数值方法的高阶数值解法。

4. 计划与进度安排

1、2016年11月30日-2016年12月10日：完成选题

2、2016年12月11日-2022年12月31日：阅读大量资料并选取有用资料待用，积累最新信息，完成开题工作

3、2017年1月1日-2017年1月18日： 上交详细的论文提纲，等待老师的指导意见

5. 参考文献

[1]王秀花. 非线性方程的一些数值解法及其理论分析[d].上海大学,2011.

[2]赵晓朋. 高阶非线性抛物方程解的性质及其数值解法[d].吉林大学,2013.

[3]宋顺利. 两类非线性分数阶微分方程的数值解法[d].哈尔滨工业大学,2014.